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Determinação de Modelos Cinéticos para Secagem:A secagem em camada fina, isto é, aquela onde considera-se amostras fataiadas do material a ser desidratado, é a forma mais comum do tratamento de produtos em geral. Neste caso, deixa-se de considerar o efeito de geometrias complexas para tratar o fenômeno em análise. Para essa finalidade, a literatura especializa apresenta três categorias, a saber, os modelos teóricos, os semi-teóricos e os empíricos. A primeira categoria é empregada para o estudo da resistência interna de transferência de humidade, enquanto as outras duas categorias são consideradas para o estudo da resistência externa de transferência de humidade entre o ar e o produto (Arruda, 2008). Na presente aplicação considera-se a determinação de parâmetros de modelos semi-teóricos para a caracterização da cinética de secagem em camada fina. Para essa finalidade são considerados os seguintes modelos:
\[\begin{gathered} MR=\frac{X-X_e}{X_{\circ}-X_{e}}=\exp(-kt) \end{gathered}\] em que \(MR\) é a taxa de umidade - Moisture Ratio (gsólido seco/gsólido úmido), \(k\) é a constante de secagem ([1/h]), \(t\) é o tempo de secagem [(h)]. \(X\), \(X_e\) e \(X_{\circ}\) representam o teor de umidade, a qualquer instante de tempo, a umidade de equilíbrio e a umidade inicial, respectivamente. Neste modelo deseja-se estimar o valor do parâmetro \(k\). \(\checkmark\) Modelo de Page (Page, 1949):\[\begin{gathered} MR=\frac{X-X_e}{X_{\circ}-X_{e}}=\exp(-kt^n) \end{gathered}\] em que \(n\) é uma constante empírica adimensional. Neste modelo deseja-se estimar o valor dos parâmetros \(k\) e \(n\). \(\checkmark\) Modelo de Singh (Singh et al, 2014):\[\begin{gathered} MR=\frac{X-X_e}{X_{\circ}-X_{e}}=\exp(-kt)-mt \end{gathered}\] em que \(m\) é uma constante empírica com dimensão [1/h]. Neste modelo deseja-se estimar o valor dos parâmetros \(k\) e \(m\). Para determinar cada um destes parâmetros é necessário formular e resolver um problema inverso. Este consiste no uso de informações experimentais para a formulação de um problema particular de otimização onde deseja-se obter o valor dos parâmetros do modelo de interesse de forma a minimizar o somatório dos desvios quadráticos (\(d\)) entre os pontos experimentais (\(n_{exp}\) é o número de pontos experimentais) e os computados pelo mesmo, conforme ilustrado na figura a seguir:
Formulação Matemática do Problema Inverso:Como comentado anteriormente, a determinação dos parâmetros das equações apresentadas exige a formulação e resolução de um problema de otimização. Este consiste na minimização do funcional \(F\), isto é, obter o valor do vetor de variáveis de projeto (parâmetros do modelo que deseja-se estimar) de modo a minimizar o somatório dos desvios quadráticos (distância entre os valores experimentais e os valores preditos pelo modelo proposto), conforme a seguinte equação: \[\begin{gathered} F=\sum_{i=1}^{n_{exp}}(y_{i}^{exp}-y_{i}^{cal})^2 \end{gathered}\] em que \(y^{cal}\) e \(y^{exp}\) representam os valores preditos pelo modelo e o conjunto de pontos experimentais, respectivamente. Formulado o problema de otimização, emprega-se o algoritmo de Evolução Diferencial para a resolução do mesmo. Coeficiente de Determinação:Para mensurar a qualidade do ajuste obtido por cada modelo, será utilizado o coeficiente de determinação (\(r^{2}\)), definido como (Chapra, 2013): \[\begin{gathered} r^2=1-\frac{S_r}{S_t} \end{gathered}\] onde \(S_{r}\) (soma total dos desvios quadraticos entre os dados experimentais e os valores computados pelo modelo considerado) e \(S_{t}\) (soma total dos quadrados dos resíduos entre os dados experimentais e a média) são definidos como: \[\begin{gathered} S_r=\sum_{i}^{n_{exp}}(y_{i}^{exp}-y_{i}^{cal})^2 \end{gathered}\] \[\begin{gathered} S_t=\sum_{i}^{n_{exp}}(y_{m}-y_{i}^{cal})^2 \end{gathered}\] em que \(y_{m}\) é o valor médio observado no modelo considerado, calculado como: \[\begin{gathered} y_m=\frac{\sum_{i}^{n_{exp}}y_{i}^{cal}}{n_{exp}} \end{gathered}\] Em termos práticos, quanto mais próximo \(r^{2}\) for da unidade, melhor é o ajuste proposto. Este valor representa o percentual dos dados experimentias que pode ser explicado pelo modelo matemático proposto. Neste caso, se o valor de \(r^{2}\) for longe da unidade, isto implica que o modelo proposto não foi uma boa escolha. Definir o Modelo Cinético de Secagem Voltar para a página principal do LabSim-EQ |
